[ RF Theorem ] RF의 Z 파라미터, Y 파라미터, S 파라미터, ABCD 파라미터 공식 유도부터 해석까지

 

 

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안녕하세요! 오늘은 RF 설계에서 중요한 네 가지 파라미터인 Z 파라미터, Y 파라미터, S 파라미터, 그리고 ABCD 파라미터에 대해 알아보겠습니다. 이 파라미터들은 RF 네트워크의 성능을 분석하고 설계하는 데 필수적인 도구들입니다.

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다양한 RF 설계 파라미터에 들어가기에 앞서 간단하게 포트에 대한 정의와 파라미터의 표현에 대해 알아보겠습니다.

*포트
: 전류방향은 Port로 입사되는 방향으로 결정하고 포트의 개수에 따라 One port, Two port,....Multiport Net으로 불립니다.

또한 같은 2-Port Net이라도 임피던스의 위치 구성에 따라 아래와 같이 나뉩니다.

 

*파라미터 표면

2포트 입력에 대한 1포트 출력 Z파라미터를 Z12 (2포트를 제외한 나머지 포트에는 신호가 들어오지 않음),
1포트 입력에 대한 3포트 출력 Z파라미터를 Z31 (1포트를 제외한 나머지 포트에는 신호가 들어오지 않음) ,
2포트 입력에 대한 2포트 출력 S파라미터는 S22 (2포트를 제외한 나머지 포트에는 신호가 들어오지 않음) ,
4포트 입력에 대한 1포트 출력 Y파라미터를 Y14 (4포트를 제외한 나머지 포트에는 신호가 들어오지 않음)  
이라고 표현 합니다. 즉, 파라미터 다음 오는 숫자는 출력포트를 먼저 쓰고 다음에 입력에 대한 포트로 사용합니다.

 

 

※1. Z 파라미터 (임피던스 파라미터)

: 전류를 기준으로 전압을 표현하면서 파생되는 임피던스 Z에 관한 행렬

Z 파라미터는 네트워크의 입력과 출력 전압 및 전류 간의 관계를 나타내는 파라미터입니다. 이 파라미터는 임피던스 행렬로 표현되며, 주로 저주파 회로에서 사용됩니다.

▶1. 공식 유도

Ohm's Law에 의해서 각 포트의 임피던스와 전류, 전압간 관계는 아래와 같이 표현가능 합니다.

해당 두개의 수식은 2X2 Matrix 형태로 다음과 같이 변형 가능합니다.

글 도입부에 2포트에서 대표적인 4가지 NetWork인 T, Pi, T-Bridge, Lattice Network가 있다고 하였습니다.

당연히 4가지 Network 모두 각각 다른 Z-Parameter 공식이 도출됩니다.
해당 포스팅에서는 4가지중 T Network의 경우에 대해서 공식을 유도해보고,
나머지는 공식만 추가해 놓겠습니다. 직접해보시거나 비교해보세요.

다음과 같은 T Network는 Ohm's Law에 의해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
-Z11: 포트1에만 신호가 입력될 때 포트1에 출력된 신호에 대한 임피던스를 의미합니다. 이경우 +I2가 없으므로 포트 2는 OPEN과 동일하므로 Z2는 없는 것과 등가 입니다.

이때, Z11 = V1/I1 = (I1Z1+I1Z3)/I1 = Z1+Z2

-Z12: 포트2에만 신호가 입력될 때 포트1에 출력된 신호에 대한 임피던스를 의미합니다. 이경우 +I1가 없으므로 포트 1의 Z1는 없는 것과 동일하게 됩니다.

이때, Z12 = V1/I2 = (I2Z3)/I2 = Z3

 

 

-Z21: 포트1에만 신호가 입력될 때 포트2에 출력된 신호에 대한 임피던스를 의미합니다. 이경우 +I2가 없으므로 포트 2의 Z2는 없는 것과 동일하게 됩니다.

이때, Z11 = V1/I2 = (I2Z3)/I2 = Z3

 

 

-Z22: 포트2에만 신호가 입력될 때 포트2에 출력된 신호에 대한 임피던스를 의미합니다. 이경우 +I1가 없으므로 포트 1의 Z1는 없는 것과 동일하게 됩니다.

이때, Z22 = V1/I2 = (I2Z2+I2Z3)/I2 = Z2+Z3

 

 

최종적으로 앞서 표현한 2x2 Matrix방식으로 표현하면

다음과 같이 표현 가능합니다.

▶2. 4가지 2 Port Z-Parameter

(T Network 앞서 공식 유도 했을 때랑 회로상 Z2, Z3 표기 위치 바뀌었어요 주의하세요!)

Multiple Port도 결국 해당 Open, Ohm's Law 매커니즘을 통해 Z-Parameter를 구할 수 있습니다.

 

▶3. 사용 예시

전압과 전류의 관계 분석  /  저주파 회로 설계 

 

 

※2. Y 파라미터 (어드미턴스 파라미터)

: 전압을 기준으로 전류를 표현하면서 파생되는 어드미턴스 Y에 관한 행렬

Y 파라미터는 Z 파라미터와 반대로 네트워크의 입력과 출력 전류 및 전압 간의 관계를 나타냅니다. 어드미턴스 행렬로 표현되며, 주로 저주파 회로에서 사용됩니다.

▶1. Pi Network의 Y Parameter

Y-Parameter로 다양한 Network에 따라 다른 공식이 도출되지만 이번에는 Pi Network에 대해 알아 보겠습니다.
어드미턴스 Y는 임피던스 Z의 역수, 즉 Y=1/Z입니다.  그러므로 다음과 같은 2x2 matrix로 표현가능하고 

 

Z Parameter의 Pi Network에서 Y=1/Z관계를 통해 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

▶2. Z-Parameter와 Y-Parameter와 관계

Parameter의 행렬상에서 또한 Z=1/Y관계가 성립합니다.

 

▶3. 사용 예시

전류와 전압의 관계 분석  /  저주파 회로 설계

 

 

※3. S 파라미터 (산란 파라미터)

: 입력 전압파에 대해서 발생하는 반사파와 투과파를 표현한 행렬, 산란 파라미터는 전자파의 전력 형태에 관한 것이며 입사 전력파(a)와 반사 전력파(b)에 관련되어 회로의 입력과 출력 관계를 정의할 수 있습니다.

S 파라미터는 RF 및 고주파 회로에서 가장 많이 사용되는 파라미터입니다. 네트워크의 입력 및 출력 반사와 전달 특성을 주파수 함수로 나타냅니다.

RF엔지니어는 불가능한 단자의 조건을 필요로 하거나 시험 소자를 파손시킬 위험성 없이 단지 S-파라미터만을 가지고 모든 RF소자들의 2-단자 회로 특성을 실제적으로 나타낼 수 있습니다.

S-파라미터는 한 포트에서 입력 전력이 반사되어 돌아온 전력과 다른 포트로 전달된 전력의 비를 이용하여 나타낸다.

위상에 관한 정보를 추가하면 어떤 선형 회로에 대해서도 완전한 표현이 이뤄진다.

▶1. S-Parameter의 각 항목 정의 

 

위의 시스템은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

[도출]

an과 bn은 아래와 같이 정의 됩니다.

 

위 2가지 식으로부터 다음의 전압, 전류식을 얻을 수 있습니다.

an과 bn을 순방향 진행파와 역방향 진행파 성분으로 분리하고 a와 b에 대한 식으로 나타내겠습니다.

이러한 정의들 속에서

위 식이 S-Parameter의 아래 정의에 의해서

다음과 같이 정의된 것 입니다.

 

▶2. S-Parameter의 각 항목 정의

아래 관계 행렬식은 앞선 내용에서 구했습니다.

이때 행렬식을 계산해보면 각 S-Parameter의 수식 관계를 구할 수 있습니다.
S11을 예를 들어보면

이과정을 4번하면 아래의 4가지 S-Parameter 관계식을 구할 수 있습니다.

이를 통해 각 S-parameter가 의미하는 것이 무엇인지 확인할 수 있습니다.

S11은 "1포트에서 반사된 전력/1포트에서 입사된 전력"으로 반사된 비율을 나타내는 손실(Loss)에 대한 파라미터
S12은 "1포트로 출력되는 전력/2포트에서 입사된 전력"으로 역방향으로 들어오는 전압에 대한 이득(Gain)을 의미하는 파라미터
S21은 "2포트에서 출력되는 전력/1포트에서 입사된 전력"으로 순방향으로 들어오는 전압에 대한 이득(Gain)을 의미하는 파라미터
S22은 "2포트에서 반사된 전력/2포트에서 입사된 전력"으로 반사된 비율을 나타내는 손실(Loss) 대한 파라미터 
입니다.

RF 시스템에서 Network Analyzer(네트워크 분석기) 등을 통해 자주 확인하게 되는 S11과 S21은 필수적으로 의미를 알아두어야 할 것입니다.

 

▶3. S-Parameter의 변환

S-Parameter는 Z-Parameter와 Y-Parameter 들과 상호 변환이 가능합니다.

예전에 증명해 본적이 있는데 수식이 너무 복잡해서 이번 포스팅에서는 생략할게요 ㅠㅠ

 

▶4. S-Parameter 사용 이유

-회로 설계 및 분석의 편리성: 다양한 주파수에서의 전달, 산란, 반사 등을 하나의 매트릭스로 표현하여 회로의 특성 파악
-전송선로의 특성 파악: 신호의 전달 및 반사 특성을 정확하게 모델링 하여 고주파 회로에서 전송선로의 올바른 설계를 도움
-다양한 통신 시스템 설계: 시스템의 성능을 평가하고 최적화하는 데 사용
-소자의 특성 평가: 산란 특성, 손실, 반사, 송수신 특성 등을 이해하고 최적화하는 데 도움을 주어 소자의 특성을 평가
-고주파 회로 설계의 효율성 증가: 전체 회로의 복잡한 상호 작용을 고려하고 최적화 해주어 회로 설계 프로세스를 효율적으로 만들어주고, 실험적인 시간과 비용을 절감

▶5. 사용 예시

고주파 회로 설계  /  네트워크 매칭  /   신호 무손실 전송 분석

 

 

※4. ABCD-parameter

: 입력 전압과 전류에 대해 출력 전압과 전류를 해석하여 값을 구하도록 해주는 행렬

ABCD 파라미터는 네트워크의 전압 및 전류를 입력과 출력 포트 간의 관계로 나타냅니다. 전송 행렬로 표현되며, 주로 2포트 네트워크에서 사용됩니다.

 

▶1. ABCE-Parameter

 

▶2. ABCD-Parameter 사용 이유

여러단의 RF 시스템을 수식으로 나타내기에 용이 합니다.

 

 

▶3. 사용 예시

네트워크 해석  /  연속된 네트워크 분석  / 필터 설계

 

이 네 가지 파라미터는 각각의 장점과 단점이 있으며, 특정 상황에 따라 적합한 파라미터를 선택하여 사용해야 합니다. RF 설계에서 이 파라미터들을 적절히 활용하면 네트워크의 성능을 최적화하고, 설계 효율을 높일 수 있습니다.

 

이상으로 RF에서 사용되는 다양한 파라미터 (Z Parameter / Y Parameter / S Parameter / ABCD Parameter )에 대해 마치겠습니다.

RF 설계와 관련된 다양한 파라미터들에 대해 궁금증이 있다면, 댓글로 질문을 남겨주세요! 다음 시간에는 더 흥미로운 주제로 찾아뵙겠습니다.

감사합니다.

 

 

 

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