푸리에 변환 (Fourier Transform; 푸리애 트랜스폼) - 시간과 주파수 변환

 

 

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안녕하세요.

푸리에 변환은 신호 처리, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 필수적으로 사용되는 수학적 도구입니다. 이 변환은 복잡한 신호를 주파수 성분으로 분해하여 우리가 그 신호를 더 잘 이해하고 분석할 수 있도록 돕습니다. 푸리에 변환의 개념, 적용 사례, 그리고 수학적 이론을 차근차근 살펴보겠습니다.

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아래 푸리에 변환과 라플라스 변환에 대한 자세한 내용 참조해보세요

1. 라플라스 변환

https://semicircuit.tistory.com/entry/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4-%EB%B3%80%ED%99%98-Laplace-Transform-%EB%B3%B5%EC%86%8C-%EC%A3%BC%ED%8C%8C%EC%88%98-%EB%B3%80

 

2.푸리에 변환과 라플라스 변화의 차이

https://semicircuit.tistory.com/entry/%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90-%EB%B3%80%ED%99%98%EA%B3%BC-%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4-%EB%B3%80%ED%99%98%EC%9D%98-%EC%B0%A8%EC%9D%B4

 

 

 

 

 

푸리에 변환은 프랑스의 수학자 장 바르톨로뮤 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier)의 연구에서 유래했습니다. 그는 열 전도 문제를 해결하기 위해 주기적인 함수의 합으로 신호를 표현할 수 있다는 아이디어를 제시하였고, 이를 통해 주파수 분석의 기초를 마련하였습니다. 이론은 그 후 다양한 신호 처리 분야에 응용되며 발전해왔습니다.

Jean-Baptiste Joseph Fourier

 

푸리에 변환(Fourier Transform)은 시간 도메인에서 정의된 신호를 주파수 도메인으로 변환하는 강력한 수학적 도구입니다. 장르와 상관없이 신호를 분석하는 데 사용되며, 음향, 이미지 처리, 통신 등 다양한 분야에서 널리 활용됩니다. 푸리에 변환은 신호의 주파수 성분을 추출하고, 이를 통해 신호의 특성을 이해하고 처리하는 데 도움을 줍니다.

 

 

※1. 푸리에 변환의 기본 개념

▶1. 시간 도메인 vs 주파수 도메인

• 시간 도메인(Time Domain): 일반적으로 신호는 시간에 따른 값(예: 진폭)으로 표현됩니다. 예를 들어, 음성 신호나 전압 신호 등이 시간에 따라 변하는 모습을 그래프로 나타낼 수 있습니다.
• 주파수 도메인(Frequency Domain): 신호가 어떤 주파수 성분들로 구성되어 있는지를 나타내는 표현 방식입니다. 주파수 도메인에서 신호를 분석하면, 특정 주파수 성분이 얼마나 포함되어 있는지를 쉽게 파악할 수 있습니다.
  

  

푸리에 변환은 이러한 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 변환해 주는 수학적 도구입니다. 이를 통해 시간에 따라 변화하는 복잡한 신호를 여러 개의 사인파로 분해할 수 있습니다.

 

 

 

▶2. 푸리에 변환의 핵심 아이디어

푸리에 변환의 아이디어는 신호가 다양한 주파수를 가진 사인파와 코사인파의 조합으로 표현될 수 있다는 것입니다. 이 과정에서 각 주파수 성분의 진폭과 위상 정보를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

※2. 푸리에 변환의 수학적 정의

▶1. 푸리에 변환의 수학적 정의

푸리에 변환은 연속 신호 x(t)x(t)x(t)에 대해 다음과 같이 정의됩니다.

 

이 식은 신호 x(t)x(t)x(t)를 모든 주파수 성분에 대해 통합하여 주파수 도메인으로 변환하는 것을 의미합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

※3. 복소 지수 함수와 위상

푸리에 변환에서는 복소 지수 함수를 사용하여 진폭뿐만 아니라 위상 정보도 함께 고려합니다. 여기서 얻어진 주파수 스펙트럼은 진폭 스펙트럼과 위상 스펙트럼으로 나눌 수 있습니다.  

▶1. 복소 지수 함수란? 

복소 지수 함수는 복소수와 지수 함수의 결합으로, 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

여기서

• i는 허수 단위로, i^2=−1을 만족합니다.
• θ는 각도(라디안)로, 보통 주파수와 시간의 곱으로 표현됩니다.

이 식은 오일러의 공식 (Euler's Formula)로 알려져 있으며, 복소 평면 상에서 단위 원을 그리며 회전하는 것을 나타냅니다. 이때, e^(iθ)는 복소 평면에서 실수부와 허수부가 각각 cos⁡(θ)와 sin⁡(θ)으로 구성된 복소수를 의미합니다.

예시: 주파수를 포함한 복소 지수 함수

주파수 ω와 시간을 포함하여 신호를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 A는 신호의 진폭(amplitude)을 나타냅니다. 이 표현은 주파수가 ω인 신호가 시간에 따라 진동하는 모습을 복소 평면 상에서 시각화할 수 있게 해 줍니다.

 

 

 

▶2. 위상(Phase)란?

위상(Phase)은 신호의 시간적 이동이나 시작 위치를 나타내는 각도 정보입니다. 위상은 주로 주파수 성분이 어떻게 배열되는지를 설명하고, 여러 주파수 성분이 합쳐져 만들어진 신호의 형태를 결정하는 데 중요한 역할을 합니다.

위상은 보통 다음과 같이 표현됩니다.

여기서:

• ϕ는 위상 각(Phase Angle)으로, 신호의 시간적 이동을 나타냅니다.
• ω는 각주파수, ttt는 시간입니다.

위상 ϕ가 0이 아닌 값일 경우, 신호는 시간축에서 ϕ 만큼 이동한 형태가 됩니다. 예를 들어, 두 신호 os(ωt)와 cos(ωt+π/2)가 있다면, 후자의 신호는 π/2 만큼 위상이 이동된 상태입니다.

위상의 예시

• cos(ωt): 위상이 0인 신호
• cos(ωt+π): 원래 신호에서 180도(반주기) 이동된 신호
• cos(ωt−π/2): 원래 신호에서 -90도(1/4주기) 이동된 신호

이렇게 위상이 달라지면 두 신호가 시간이 어떻게 어긋나 있는지에 대한 정보를 알 수 있습니다.

 

 

 

▶3. 복소 지수 함수와 위상의 관계

푸리에 변환에서 주파수 성분을 복소 지수 함수로 표현할 때, 신호의 위상과 진폭 정보를 모두 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 신호 f(t) = Ae^(i(ωt+ϕ))는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

 

이 표현에서:

• A는 신호의 진폭
• ϕ는 신호의 위상, 즉 주파수 성분의 시간적 위치

이러한 방식으로 복소 지수 함수를 사용하여 주파수, 진폭, 위상 정보를 종합적으로 표현할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

※4. 푸리에 변환의 주요 성질

푸리에 변환에는 다양한 유용한 성질들이 있으며, 이는 신호를 분석하는 데 큰 도움이 됩니다. 

▶1. 선형성(Linearity) 

: 푸리에 변환은 선형 연산이므로, 두 신호의 합의 푸리에 변환은 개별 신호의 푸리에 변환의 합과 같습니다.

 

▶2. 주파수 이동(Frequency Shifting)

: 신호에 특정 주파수를 곱하면 그 신호의 푸리에 변환은 주파수 축에서 이동합니다. 이는 통신 시스템에서 변조와 같은 과정에서 중요하게 쓰입니다. 

 

▶3. 시간 이동(Time Shifting)

: 시간 도메인에서 신호를 이동시키면, 주파수 도메인에서는 위상이 변화합니다. 

 

▶4. 컨볼루션 정리(Convolution Theorem) 

: 시간 도메인에서의 두 신호의 컨볼루션은 주파수 도메인에서의 곱셈과 같습니다. 이 성질은 필터 설계와 같은 신호 처리 과정에서 유용합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

※5. 푸리에 변환의 종류

푸리에 변환에는 여러 가지 변형이 있습니다. 각각의 변형은 다른 특성을 가지고 있으며, 특정 상황에서 더 유용하게 사용될 수 있습니다. 

▶1. 이산 푸리에 변환 ( Discrete Fourier Transform, DFT )

: 디지털 신호 처리에서 주로 사용되며, 신호가 이산화(샘플링)된 경우에 유용합니다.

 

▶2. 고속 푸리에 변환 ( Fast Fourier Transform, FFT )

: DFT의 계산을 효율적으로 수행하기 위한 알고리즘으로, 컴퓨터를 이용한 신호 처리에 필수적입니다.

 

< 라플라스 변환과의 관계>

라플라스 변환은 주파수 복소평면 전체를 다루는 반면, 푸리에 변환은 실수 주파수 축에 국한됩니다. 이는 푸리에 변환을 라플라스 변환의 특수한 경우로 볼 수 있게 합니다

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

※6. 푸리에 변환의 한계

푸리에 변환은 강력한 도구지만, 다음과 같은 한계가 있습니다. 

▶1. 시간 정보 손실

: 푸리에 변환은 주파수 정보를 얻는 데는 유리하지만, 시간 정보를 잃게 됩니다. 신호가 시간에 따라 어떻게 변하는지 알기 어렵습니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 단시간 푸리에 변환(STFT) 또는 **웨이블릿 변환(Wavelet Transform)**이 사용됩니다.

 

 

▶2. 노이즈에 민감함

: 푸리에 변환은 신호의 모든 주파수 성분을 고려하기 때문에, 신호에 포함된 노이즈에도 민감할 수 있습니다. 노이즈가 많은 신호에서는 주파수 분석이 어려워질 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

※7. 푸리에 변환의 응용 분야

푸리에 변환은 신호의 주파수 성분을 분해하는 데 탁월하기 때문에, 다양한 분야에서 활용됩니다. 

▶1. 통신

: 주파수 성분을 분석하여 변조와 복조 과정을 쉽게 수행할 수 있으며, 효율적인 전송 방법을 설계하는 데 사용됩니다.

 

▶2. 음성 및 음향 처리

: 음성 신호의 주파수 성분을 분석하여 음성 인식이나 음질 개선에 도움을 줍니다. 

 

▶3. 영상 처리

: 이미지의 주파수 성분을 분해하여 압축이나 필터링 등에 사용됩니다. JPEG 이미지 압축은 푸리에 변환의 변형인 이산 코사인 변환(DCT)을 사용합니다.

 

▶4. 의료 영상 

: MRI와 같은 의료 장비는 푸리에 변환을 사용하여 내부 장기의 이미지를 재구성합니다. 

 

 

 

 

푸리에 변환은 신호를 주파수 성분으로 분해해주며, 이를 통해 복잡한 신호의 특성을 쉽게 파악할 수 있도록 돕습니다. 시간 정보를 유지하지 못하는 한계가 있지만, 다양한 변형 기법들을 활용하여 이러한 단점을 보완할 수 있습니다. 푸리에 변환은 신호 처리와 시스템 분석에서 빼놓을 수 없는 도구로, 통신, 음향, 영상, 의료 등 다양한 분야에서 폭넓게 사용됩니다.

신호를 더 잘 이해하고 분석하기 위해서는 푸리에 변환의 기본 개념을 이해하는 것이 중요하며, 나아가 이를 실무에 적용하여 주파수 기반의 분석과 설계를 더욱 정교하게 할 수 있을 것입니다.

 

이상으로  푸리애 변환에 대한 설명을 마치겠습니다. 감사합니다.