[디지털 공학(9)] 부울 대수와 논리 간략화

 

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안녕하세요.

이번 시간에는 부울연산, 부울 계수, 드 모르간 법칙에 대해 알아보겠습니다.

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※1. 부울 대수

▶1. Bool의 의의, 목적, 구성

-의의 : 1(참) 또는 0(거짓)의 값에 대해 논리 동작을 상태로써 표현되고 처리한다.

-목적 : 논리회로를 설계하고 분석하기 위함이다.

-구성 : 변수(동작,조건,데이터를 나타내는데 사용하는 기호),보수(변수의 역을 의미하여 변수위에 바를 사용), 문자(변수나 변수의 보수)

 

 

▶2. 부울 연산

(1) 부울 덧셈

- A+B, A'+B, A+B', A'+B'로 표시하며 OR연산과 동일하다.

 

(2) 부울 곱셈

- AB, A'B, AB', (AB)"로 표현하며 AND연산과 동일하다.

 

 

▶3. 부울 대수의 법칙

 

 

▶4. 연산자의 우선순위

=> 괄호>NOT>AND>OR

 

 

 

 

※2. 부울 대수의 규칙

+) A + A'B = A + B, 드모르간 법칙에 의한 규칙 : (AB)' = A' + Y', (A+B)' = A'B'

 

 

 

 

※3. 드모르간의 법칙

- 논리곱을 논리합으로, 논리합을 논리곱으로 바꾸어 쓰일 수 있다.

- NOR나 NAND를 이용하여 회로를 단순화하는데 유용하게 사용된다.

 

▶1. 드모르간 제1법칙

➀ 논리식 : (AB)' = A' + Y' / (ABC)' = A' + B' + C'

➁ 해석 : 논리곱의 전체 부정은 각각 변수의 부정을 논리합 한 것과 같다.

➂ 기호(Symbol) :

 

 

 

▶2. 드모르간 제2법칙

➀ 논리식 : (A+B)' = A'B' / (A+B+C)' = A'B'C'

➁ 해석 : 논리합의 전체 부정은 각각 변수의 부정의 논리합과 같다.

➂ 기호(Symbol) :

 

 

 

 

 

※4. 부울식의 표준형

▶1.  Minterm형식(Sum-of-product) : 곱셈 항들이 더해지는 형식

--> Minterm표준식 유도

- Minterm의 경우 출력(OUTPUT)이 1인 경우 입력 변수를 나열한다,

- 입력변수의 입력이 1인 경우 원래의 입력 변수, 0인 경우 보수로 대체하여 반환한다.

- 각각의 1의 출력에 대해 *(AND)를 한 이후 해당 논리들에서 +(OR)를 실행 한다.

 

▶2. Maxterm형식(Product-of-sum) : 덧셈 항들이 곱해지는 형식

-->2 표준식 유도

- Maxterm의 경우 출력(OUTPUT)이 0인 경우 입력 변수를 나열한다,

- 입력변수의 입력이 0인 경우 원래의 입력 변수, 1인 경우 보수로 대체하여 반환한 다.

- 각각의 0의 출력에 대해 +(OR)를 한 이후 해당 논리들에서 *(AND)를 실행한다.

 

+) - SOP(Midterm)과 POS(Maxterm)은 서로 보수의 성질을 가진다.

- 두 회로는 간단한 회로설계를 가져올 수 있어 PLD로의 구현에 편리하다.

- Minterm와 Maxterm는 동일한 출력 결과를 가져 오는데 출력의 1과 0의 개수를 비교하여 1의 개수가 0의 개수보다 적으면 Minterm, 0의 개수가 1보다 적으면 Mindterm을 사용하여 회로를 간단하게 해준다.